计算过程，无隐藏假设
协方差是两个变量的单位相乘后的结果，因此其正负号通常比数值大小更容易解释。MAXScanner 会明确区分样本与总体的分母，并在协方差旁边给出 Pearson 相关系数，作为不受量纲影响的补充指标。
如何使用此计算器
按相同顺序粘贴成对的 X 与 Y 观测值。
若成对数据用于估计更大的总体，选择“样本”；若成对数据即为所描述的完整总体，选择“总体”。
请综合查看交叉离差表、协方差的正负号以及 Pearson 相关系数。
常见使用场景
- •统计课程作业与公式核对
- •对两项测量数据进行探索性分析
- •核对电子表格中的协方差计算结果
示例：成对数据同步增长
当 X 与 Y 往往同时高于各自均值时，交叉乘积为正，协方差为正；若两者呈反向变动，则协方差为负。
结果未作出的假设
- •协方差的大小取决于测量单位，因此不能直接比较尺度不同的变量。
- •样本协方差至少需要两组成对观测值。
- •即使存在非线性依赖关系，协方差也可能接近于零。
常见问题
协方差与相关系数有什么区别？+
协方差保留了 X 与 Y 的单位和量纲。相关系数则用两者的标准差对协方差进行标准化，因此取值范围在 −1 与 +1 之间。
为什么样本协方差要除以 n−1？+
当成对数据是从更大的总体中抽取的样本时，这是常用的贝塞尔校正样本协方差估计量。
协方差可以为负数吗？+
可以。协方差为负表示一个变量高于均值的值，往往与另一个变量低于均值的值相对应。
相关下一步
继续计算
这些链接会进入不同的输入、公式或项目阶段，而不是本页的关键词变体。
相关系数计算器 — Pearson 与 Spearman，含成对数据计算过程
输入成对的 X 与 Y 数据，计算 Pearson 相关系数或 Spearman 秩相关系数，并给出 R²、协方差、最佳拟合斜率、数据对数量以及可核查的逐行数据表。
打开线性回归计算器——最佳拟合直线、R²、相关系数与残差
对成对的 X/Y 数据进行最小二乘简单线性拟合，计算斜率、截距、Pearson r、R²、预测值、残差以及回归过程中使用的各项求和。
打开统计计算器 — 均值、中位数、众数、四分位数、方差与标准差
粘贴数据集，计算计数、总和、均值、中位数、众数、最小值/最大值/极差、Tukey 四分位数、IQR、样本/总体方差与标准差、标准误、变异系数、偏度、超额峰度、异常值边界以及频数表。
打开标准差计算器 — 样本与总体方差（含步骤）
根据粘贴的数据计算样本或总体标准差，并给出均值、方差、平方偏差和、标准误、变异系数、Tukey 异常值，以及逐行的偏差与 z 分数表。
打开置信区间计算器 — 均值（z/t）与比例，含计算步骤
计算均值的 90%、95% 或 99% 置信区间：总体标准差已知时使用 z 区间，以样本标准差按 t 分布计算，或使用 Wilson 区间计算比例的置信区间。
打开Z 分数计算器 — 标准化或反求 x、均值与标准差
计算 z = (x − 均值) ÷ 标准差，或反向求解原始值、均值或标准差，并给出正态分布百分位参考及代入过程。
打开频数分布计算器——频数、相对频数与累积频数表
粘贴原始数据，即可生成未分组或分组的频数分布表，包括计数、相对频数、累积频数、累积百分比、组中值，并与原始样本量 n 进行核对。
打开加权平均数计算器 — 数值、权重、贡献与简单平均
粘贴数值与权重的行数据，计算加权平均数、加权和、总权重、简单平均、加权偏移量，以及每行的归一化权重百分比、乘积和贡献值；权重无需合计为 100。
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让结果与实际工作保持关联
MAXScanner 会把公式和假设保留在结果旁边，方便你在将数字用于图纸、估算、规范、工作表或文档前进行核对。如果供应商、制造商、图纸或适用标准规定了要求，应以该来源为准。