計算過程，無隱藏假設
標準差很容易被引用，但如果分母的選擇被隱藏，就很容易被誤用。MAXScanner 會明確區分樣本與母體的選擇，在除法之前先顯示平均數與完整的離差平方和，接著給出對應的變異數，最後再開根號。逐筆觀測值表格會列出每個離差、離差平方與 z 分數；標準誤、變異係數與 Tukey 離群值標記則補充主流統計工具所提供的背景資訊，但不會替你決定該保留哪些資料。
如何使用此計算器
請貼上工作表、CSV 欄位或筆記中的數值觀測值。當輸入較容易檢核時，也可使用如 10:3 的重複值簡寫。
若資料用來推估較大母體，請選擇「樣本」；若這些數值即為你所要描述的完整母體，請選擇「母體」。
請檢查平均數、變異數與 Σ(x−平均數)²，再展開離差表格，查看哪些觀測值對離散程度的貢獻最大，以及它們的 z 分數如何比較。
常見使用情境
- •需要顯示計算過程的作業與統計檢核
- •品質管制或量測離散程度的彙整
- •在同一組資料上比較樣本與母體公式
- •逐一檢視離差、離差平方與 z 分數
範例：2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
平均數為 5，離差平方和為 32。母體變異數為 32/8 = 4，母體標準差為 2。樣本變異數為 32/7 ≈ 4.5714，樣本標準差約為 2.1381。
結果未假設的條件
- •樣本或母體是建模上的選擇，而非格式選項。計算機無法判斷你的觀測值是否代表與你的問題相關的完整母體。
- •z 分數是相對於所選標準差來表示的；當標準差為零時，代表所有觀測值完全相同，計算機會回報 z 分數皆為零。
- •變異係數是以所選標準差除以絕對值平均數計算，平均數為零時無法計算。它最適合用於具有有意義零點的比率尺度量。
常見問題
為什麼樣本標準差要除以 n−1？+
當樣本平均數是由同一組觀測值推估而來時，會使用掉一個自由度。除以 n−1 即為 Bessel 校正，也是標準的樣本變異數公式。
變異數就是標準差的平方嗎？+
是的。標準差是變異數的平方根，因此變異數以平方單位表示，而標準差則會回到原始量測單位。
如果所有數值都相同呢？+
每個數值與平均數的離差都是零，因此變異數與標準差都為零。
我可以使用次數簡寫嗎？+
可以。例如 10:3 會在計算平均數與離差之前展開為三個等於 10 的觀測值。
相關下一步
繼續計算
這些連結會進入不同的輸入、公式或專案階段，而不是本頁的關鍵字變體。
Z分數計算機 — 標準化或反推 x、平均值與標準差
計算 z = (x − 平均值) / 標準差，或反推原始值、平均值或標準差，並提供常態分布百分位數參考與代入計算步驟。
開啟信賴區間計算機 — 平均值（z/t）與比例，附計算步驟
計算平均值的90%、95%或99%信賴區間：母體標準差已知時使用z區間，以樣本標準差使用t分布，或以Wilson區間計算比例的信賴區間。
開啟統計計算機｜平均數、中位數、眾數、四分位數、變異數與標準差
貼上資料集，即可計算個數、總和、平均數、中位數、眾數、最小值／最大值／全距、Tukey 四分位數、IQR、樣本與母體變異數及標準差、標準誤、變異係數、偏態、超額峰度、離群值界線與次數分配表。
開啟相關係數計算機 — Pearson 與 Spearman（含成對資料計算過程）
貼上成對的 X 與 Y 資料，即可計算 Pearson 相關係數或 Spearman 等級相關係數，並提供 R²、共變異數、最佳擬合斜率、配對數量，以及可供稽核的逐列資料表。
開啟共變異數計算機 — 樣本與母體共變異數及相關係數
由兩組成對資料計算樣本或母體共變異數，包含平均值、交叉偏差總和、標準差、皮爾森相關係數，以及逐列計算過程。
開啟次數分配計算機 — 次數、相對次數與累積次數表
貼上原始資料，建立未分組或分組的次數分配表，包含次數、相對次數、累積次數、累積百分比、組中點，並與原始樣本數 n 進行核對。
開啟加權平均計算機 — 數值、權重、貢獻與一般平均
貼上數值與權重列，即可計算加權平均數、加權總和、總權重、一般平均、權重造成的偏移，以及每列的正規化權重百分比、乘積與貢獻，且權重不必加總為 100。
開啟比例計算機
化簡整數或小數比例、求解缺少的比例值、等比例放大或縮小比例，並將總量依比例分配，同時顯示計算過程。
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