計算過程，無隱藏假設
共變異數是將兩個變數的單位相乘後的結果，因此其正負號通常比數值大小更容易解讀。MAXScanner會明確標示樣本與母體的分母差異，並在共變異數旁顯示皮爾森相關係數，作為不受尺度影響的輔助指標。
如何使用此計算器
請依相同順序貼上成對的X與Y觀測值。
若成對資料用於推估較大的母體，請選擇樣本；若成對資料即為所描述的完整母體，請選擇母體。
請同時檢視交叉偏差表、共變異數正負號與皮爾森相關係數。
常見使用情境
- •統計課程作業與公式驗算
- •兩項測量數據的探索性分析
- •驗證試算表中的共變異數計算結果
範例：成對資料同步增加
當X與Y傾向同時高於各自的平均值時，交叉乘積為正，共變異數也為正；反向變動則產生負的共變異數。
結果未假設的條件
- •共變異數的大小取決於測量單位，因此不同尺度的變數之間無法直接比較。
- •樣本共變異數至少需要兩組成對觀測值。
- •即使存在非線性相依關係，共變異數仍可能接近零。
常見問題
共變異數與相關係數有何差異？+
共變異數保留X與Y的單位與尺度；相關係數則以兩者的標準差對共變異數進行標準化，因此數值介於−1與+1之間。
為什麼樣本共變異數要除以n−1？+
當成對資料是來自較大母體的樣本時，這是常用的白塞爾校正（Bessel-corrected）樣本共變異數估計式。
共變異數可以是負數嗎？+
可以。負的共變異數表示一個變數高於平均值的數據，傾向與另一個變數低於平均值的數據成對出現。
相關下一步
繼續計算
這些連結會進入不同的輸入、公式或專案階段，而不是本頁的關鍵字變體。
相關係數計算機 — Pearson 與 Spearman（含成對資料計算過程）
貼上成對的 X 與 Y 資料，即可計算 Pearson 相關係數或 Spearman 等級相關係數，並提供 R²、共變異數、最佳擬合斜率、配對數量，以及可供稽核的逐列資料表。
開啟線性迴歸計算機 — 最適合直線、R²、相關係數與殘差
對成對的 X/Y 資料進行簡單最小平方法擬合，計算斜率、截距、Pearson r、R²、預測值、殘差，以及迴歸計算所需的各項總和。
開啟統計計算機｜平均數、中位數、眾數、四分位數、變異數與標準差
貼上資料集，即可計算個數、總和、平均數、中位數、眾數、最小值／最大值／全距、Tukey 四分位數、IQR、樣本與母體變異數及標準差、標準誤、變異係數、偏態、超額峰度、離群值界線與次數分配表。
開啟標準差計算機 — 樣本與母體變異數（含計算步驟）
貼上資料即可計算樣本或母體標準差，並提供平均數、變異數、離差平方和、標準誤、變異係數、Tukey 離群值，以及逐列的離差與 z 分數表。
開啟信賴區間計算機 — 平均值（z/t）與比例，附計算步驟
計算平均值的90%、95%或99%信賴區間：母體標準差已知時使用z區間，以樣本標準差使用t分布，或以Wilson區間計算比例的信賴區間。
開啟Z分數計算機 — 標準化或反推 x、平均值與標準差
計算 z = (x − 平均值) / 標準差，或反推原始值、平均值或標準差，並提供常態分布百分位數參考與代入計算步驟。
開啟次數分配計算機 — 次數、相對次數與累積次數表
貼上原始資料，建立未分組或分組的次數分配表，包含次數、相對次數、累積次數、累積百分比、組中點，並與原始樣本數 n 進行核對。
開啟加權平均計算機 — 數值、權重、貢獻與一般平均
貼上數值與權重列，即可計算加權平均數、加權總和、總權重、一般平均、權重造成的偏移，以及每列的正規化權重百分比、乘積與貢獻，且權重不必加總為 100。
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